Cálculo Ejemplos

$y e^{2 x} d x = (4 + e^{2 x}) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$(4 + e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y}$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $4 + e^{2 x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4 + e^{2 x}$ de $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) (y)} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $y$ de $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y (e^{2 x})) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{4 + e^{2 x}} e^{2 x} d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{4 + e^{2 x}}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Sea $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Entonces $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Deja $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Diferencia $4 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{2 x}]$

Paso 4.3.1.1.2

Diferencia.

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Paso 4.3.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 4.3.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 4.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 4.3.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.3.1.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.3.1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.3.1.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 4.3.1.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Paso 4.3.1.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Paso 4.3.1.1.4

Suma $0$ y $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 + e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C$