Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica $y (e^{x} + 4)$ .

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Paso 1.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

Paso 1.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

Paso 1.1.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

Paso 1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $y e^{x} + 4 y - 4 y$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Resta $4 y$ de $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

Paso 1.1.2.2.2

Suma $y e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = e^{x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{e^{x} + C}$ como $e^{e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{e^{x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{e^{x}}$