Cálculo Ejemplos

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

Paso 2.3.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.6

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.6.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.6.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 2.3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Paso 2.3.9

Reescribe $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ como $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$