Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{y - x^{2} y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $4 x + x y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{y - x^{2} y}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{y - x^{2} y}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{y - x^{2} y}$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y - x^{2} y}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y - x^{2} y$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y^{1} - x^{2} y}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot 1 - x^{2} y}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $y$ de $- x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot 1 + y (- x^{2})}$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot (1 - x^{2})}$

Paso 1.2.1.5

Multiplica $y$ por $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1 - x^{2})}$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1^{2} - x^{2})}$

Paso 1.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Paso 1.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + y^{2}}{y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + y^{2}}{y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ por $\frac{4 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{(1 + x) (1 - x) y}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y$ de $(1 + x) (1 - x) y$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $4 + y^{2}$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $4 + y^{2}$ de $x (4 + y^{2})$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{(4 + y^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{(4 + y^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 4 + y^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 4 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $4 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (1 + x)$ como $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.1.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.1.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.3.11

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Paso 2.3.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Paso 2.3.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.1.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Paso 2.3.1.1.4.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$- x + 0 - x$

Paso 2.3.1.1.4.2.3

Suma $- x$ y $0$ .

$- x - x$

Paso 2.3.1.1.4.2.4

Resta $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 4 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 4 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina $\ln (| 1 - x^{2} |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 4 + y^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Paso 3.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + y^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Paso 3.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (4 + y^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.6

Expande $(4 + y^{2}) (1 - x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.7.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.7.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Paso 3.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Paso 3.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Paso 3.9

Reescribe $\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |$

Paso 3.10

Resuelve $y$

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Paso 3.10.1

Reescribe la ecuación como $| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Paso 3.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Paso 3.10.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.10.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Paso 3.10.3.2

Suma $4 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.4

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} - y^{2} x^{2}$ .

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Paso 3.10.4.1

Multiplica por $1$ .

$y^{2} \cdot 1 - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.4.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 x^{2})$ .

$y^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.6

Factoriza.

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Paso 3.10.6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Paso 3.10.7

Divide cada término en $y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ por $(1 + x) (1 - x)$ y simplifica.

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Paso 3.10.7.1

Divide cada término en $y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ por $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.10.7.2.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 3.10.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.7.2.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.10.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.7.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.10.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.8

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

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Paso 3.10.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9.3

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9.4

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.10.9.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9.5.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 3.10.9.5.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Paso 3.10.9.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Paso 3.10.9.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Paso 3.10.9.5.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 3.10.9.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.10.9.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.10.9.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.10.9.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.10.9.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.10.9.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Paso 3.10.9.5.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.10.9.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$