Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Paso 1.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Paso 1.4

Reescribe $- x^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.6

Reordena los términos.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$