Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} \cdot \frac{\sec (y)}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\sec (y)$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} \cdot \frac{\sec (y)}{x}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\sin (y) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C)$