Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} - 1}{y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} - 1}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = (x^{2} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} - x + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = x^{3} + 3 (- x) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = x^{3} - 3 x + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x^{3} - 3 x + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{x^{3} - 3 x + K}$