Cálculo Ejemplos

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Paso 2.2.1.3

Suma $z$ y $2 z$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Paso 2.2.1.4

Resta $1$ de $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Paso 2.2.1.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ .

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ por $1$ .

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Paso 2.2.2

Divide $2 z - 1$ por $3 z + 3$ .

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Paso 2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

Paso 2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 z$ por el término de mayor orden en el divisor $3 z$ .

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

Paso 2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

Paso 2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 z + 2$ .

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

Paso 2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

Paso 2.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $3$ y $3 z + 3$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 z$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

Paso 2.2.4.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

Paso 2.2.4.2.3

Factoriza $3$ de $3 (z) + 3 (1)$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Paso 2.2.4.2.4

Cancela el factor común.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Paso 2.2.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Paso 2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $z$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Paso 2.2.7

Sea $u = z + 1$ . Entonces $d u = d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.7.1

Deja $u = z + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 2.2.7.1.1

Diferencia $z + 1$ .

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

Paso 2.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $z + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

Paso 2.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

Paso 2.2.7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z + 1$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$