Cálculo Ejemplos

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Reordena $x^{2}$ y $4$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Paso 2.3.4.2

Reescribe $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 2.3.4.3

Simplifica.

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Paso 2.3.4.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 2.3.4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.3.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 2.3.4.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 2.3.4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.4.3.4

Multiplica $\arctan (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.4.4

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$