Cálculo Ejemplos

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $x^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x - 1$ de $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

Paso 3.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x - 1}$ .

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 4.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 4.3.2

Divide $x^{2}$ por $x - 1$ .

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Paso 4.3.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 4.3.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 4.3.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 4.3.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 4.3.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Paso 4.3.2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Paso 4.3.2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Paso 4.3.2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Paso 4.3.2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Paso 4.3.2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Paso 4.3.2.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 4.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.7

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.7.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.7.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.3.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.7.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Paso 4.3.11

Simplifica.

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Paso 4.3.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Paso 4.3.11.2

Para escribir $\ln (| x - 1 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

Paso 4.3.11.3

Combina $\ln (| x - 1 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Paso 4.3.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Paso 4.3.11.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| x - 1 |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

Paso 4.3.11.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

Paso 4.3.12

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Paso 4.3.13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $2 \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 \ln (| x - 1 |)$ como $- \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.5

Para escribir $- \ln (| x - 1 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.6

Combina $- \ln (| x - 1 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Paso 5.2.2.1.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

Paso 5.3

Simplifica $- 2 \ln (| x - 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ .

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Paso 5.5.1

Elimina el valor absoluto en ${| x - 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Paso 5.5.2

Reescribe $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ en forma factorizada.

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Paso 5.5.2.1

Reagrupa los términos.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

Paso 5.5.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 2 x + 2 C$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Mueve $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

Paso 5.5.2.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

Paso 5.5.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $2 C$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

Paso 5.5.2.2.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

Paso 5.5.2.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 C)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

Paso 5.5.2.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

Paso 5.5.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Reordena $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ y $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Paso 5.5.2.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Paso 5.5.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$