Cálculo Ejemplos

$3 y - x \frac{d y}{d x} = 6$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ por $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{3 y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 + 3 y}{x}$

Paso 1.2.2

Factoriza $3$ de $- 6 + 3 y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot - 2 + 3 y}{x}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $3$ de $3 \cdot - 2 + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot (- 2 + y)}{x}$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 2 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- 2 + y}$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $- 2 + y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $- 2 + y$ de $3 (- 2 + y)$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- 2 + y} d y = \frac{3}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- 2 + y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = - 2 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = - 2 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $- 2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 + y$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| - 2 + y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (| - 2 + y |) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| - 2 + y | = e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} {| x |}^{3}$ .

$| - 2 + y | = {| x |}^{3} e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- 2 + y = \pm {| x |}^{3} e^{C}$

Paso 3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm {| x |}^{3} e^{C}$ .

$- 2 + y = \pm e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 3.5.4.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{3} + 2$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C {| x |}^{3} + 2$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C {| x |}^{3} + 2$