Cálculo Ejemplos

$x y^{3} d x + e^{x^{2}} d y = 0$

Paso 1

Resta $x y^{3} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x^{2}} d y = - x y^{3} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} e^{x^{2}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $e^{x^{2}}$ de $e^{x^{2}} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} (y^{3})} e^{x^{2}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} e^{x^{2}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}}$ al numerador.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{x^{2}} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y^{3}$ de $e^{x^{2}} y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{x^{2}}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.3.3

Factoriza $y^{3}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{x^{2}}} (y^{3} x) d x$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{x^{2}}} (y^{3} x) d x$

Paso 3.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{x^{2}}} x d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{- 1}{e^{x^{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Niega el exponente de $e^{x^{2}}$ y quítalo del denominador.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x {(e^{x^{2}})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x e^{x^{2} \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x^{2}} d x$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

Paso 4.3.3

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 4.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.3.3.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.3.3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.3.3.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 4.3.3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 4.3.3.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 4.3.3.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.5

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1

Simplifica.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

Paso 4.3.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Paso 4.3.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Paso 4.3.6.2.3

Multiplica $\frac{u_{2}}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Paso 4.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

Paso 4.3.6.4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + K$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y^{2}, 2, 1$

Paso 5.2.2

Como $2 y^{2}, 2, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 2, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{2}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 5.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.6

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 5.2.7

Los factores para $y^{2}$ son $y \cdot y$ , que es $y$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocurre $2$ veces.

Paso 5.2.8

El MCM de $y^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y \cdot y$

Paso 5.2.9

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Paso 5.2.10

El MCM para $2 y^{2}, 2, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 y^{2}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 y^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 1 = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 = e^{- x^{2}} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 5.3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = e^{- x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$

Paso 5.3.3.2

Reordena los factores en $e^{- x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2}$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$

Paso 5.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} (e^{- x^{2}}) + 2 K y^{2} = - 1$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$y^{2} (e^{- x^{2}}) + y^{2} (2 K) = - 1$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (e^{- x^{2}}) + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K) = - 1$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K) = - 1$ por $e^{- x^{2}} + 2 K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K) = - 1$ por $e^{- x^{2}} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K)}{e^{- x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}} + 2 K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K)}{e^{- x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 5.4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{e^{- x^{2}} + 2 K}}$

Paso 5.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.