Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Paso 2.2

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reordena $e^{x}$ y $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Paso 6.3

Reordena $e^{x}$ y $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Paso 6.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Paso 6.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.6

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.6.2

Multiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Paso 6.7

Al resolver $\int e^{x} \sin (x) d x$ , obtenemos que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Paso 6.8

Reescribe $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7.1.2

Multiplica $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.1

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7.1.2.2

Combina $\frac{\sin (x)}{2}$ y $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7.1.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Paso 7.1.3.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Paso 7.1.4

Reordena los factores en $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.2

Combinar.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ al numerador.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$