Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Supón $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Paso 1.2

Combina $\sqrt{y^{2}}$ y $\sqrt{x y}$ en un solo radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

Paso 1.3

Reduce la expresión $\frac{y^{2}}{x y}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

Paso 1.3.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Paso 1.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V + \sqrt{V} - V$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $0$ y $\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $\sqrt{V}$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{V}$ como $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Mueve $V^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $V$ es $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 6.3.1.2.2

Divide $V^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (| x |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Paso 6.3.1.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Paso 6.3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 6.3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 6.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 6.3.3.1.2

Simplifica.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en ${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$