Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Paso 6.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.1.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.1.2

Factoriza $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.4

Multiplica $v^{- 1}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.2.1.4.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.4.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.5

Simplifica $2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Paso 6.1.1.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Paso 6.1.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Paso 6.1.1.1.3.3

Multiplica $v^{- 2}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.3.3.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Paso 6.1.1.1.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Paso 6.1.1.1.3.3.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Paso 6.1.1.1.3.4

Simplifica $- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Paso 6.1.1.2

Reordena los términos.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Paso 6.1.2

Factoriza $v$ de $- 2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Paso 6.1.3

Reordena $v$ y $- 2 x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Paso 6.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 x$ .

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Paso 6.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 x d x}$

Paso 6.2.2

Integra $- 2 x$ .

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Paso 6.2.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Paso 6.2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 6.2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Paso 6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Paso 6.2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Paso 6.2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Paso 6.2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Paso 6.2.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Paso 6.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x^{2}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Paso 6.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Paso 6.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Paso 6.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Paso 6.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Paso 6.7

Integra el lado derecho.

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Paso 6.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Paso 6.7.2

Sea $u_{1} = - x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.7.2.1

Deja $u_{1} = - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Diferencia $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.7.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.7.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x)$

Paso 6.7.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x$

Paso 6.7.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Paso 6.7.3

Simplifica.

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Paso 6.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Paso 6.7.3.2

Combina $\sqrt{- u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Paso 6.7.3.3

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 6.7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 6.7.5

Simplifica.

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Paso 6.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 6.7.5.2

Multiplica $\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 6.7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.7.7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = e^{u_{1}}$ y $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.8

Simplifica.

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Paso 6.7.8.1

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.8.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.8.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.8.4

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.8.5

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.8.6

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Paso 6.7.8.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Paso 6.7.8.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 6.7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 6.7.10

Simplifica.

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Paso 6.7.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 6.7.10.2

Multiplica $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 6.7.11

Dado que $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.7.12

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Paso 6.7.13

Simplifica.

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Paso 6.7.13.1

Reescribe $\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ como $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 6.7.13.2

Simplifica.

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Paso 6.7.13.2.1

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 6.7.13.2.2

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 6.7.13.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 6.7.13.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 6.7.13.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Paso 6.7.13.2.6

Combina $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Paso 6.7.13.2.7

Suma $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ y $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Paso 6.7.13.2.8

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Paso 6.7.13.2.9

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Paso 6.8

Divide cada término en $e^{- x^{2}} v = C$ por $e^{- x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 6.8.1

Divide cada término en $e^{- x^{2}} v = C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 6.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 6.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$