Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Paso 6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

Paso 6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Paso 6.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Paso 6.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Paso 6.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

Paso 6.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Paso 6.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

Paso 6.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

Paso 6.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

Paso 6.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

Paso 9

Simplifica.

$2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$