Cálculo Ejemplos

$4 \sqrt{y} = x - y$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} = x - y$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.9

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$\frac{4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.11

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Factoriza $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Paso 3.14

Combina $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ y $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - y'$

Paso 6

Resuelve $y^{\frac{1}{2}}$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica ambos lados por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y' = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica $(1 - y') y^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 y' = y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reordena $y^{\frac{1}{2}}$ y $- y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' = - y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Suma $y' y^{\frac{1}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y' + y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Obtén un factor común $y^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.3

Sustituye $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' (u) - (u) = 0$

Paso 6.3.4

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 {y'}^{1} + y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.1.2

Simplifica.

$2 y' + y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.2

Resta $2 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y' u - u = - 2 y'$

Paso 6.3.4.3

Factoriza $u$ de $y' u - u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.3.1

Factoriza $u$ de $y' u$ .

$u y' - u = - 2 y'$

Paso 6.3.4.3.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u y' + u \cdot - 1 = - 2 y'$

Paso 6.3.4.3.3

Factoriza $u$ de $u y' + u \cdot - 1$ .

$u (y' - 1) = - 2 y'$

Paso 6.3.4.4

Divide cada término en $u (y' - 1) = - 2 y'$ por $y' - 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.4.1

Divide cada término en $u (y' - 1) = - 2 y'$ por $y' - 1$ .

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Paso 6.3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $y' - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Paso 6.3.4.4.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Paso 6.3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

Paso 6.3.5

Sustituye $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$