Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} - 10 x$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 10$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $x - 10$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.4.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Factoriza $x - 5$ de ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $x - 5$ de ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.6.2.2

Factoriza $x - 5$ de $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.6.2.3

Factoriza $x - 5$ de $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Paso 2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.1

Factoriza $x - 5$ de ${(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.7.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.12.2.1.1

Expande $(x - 5) (2 x - 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.12.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.12.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.12.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.12.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2.1.3

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.2.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.12.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.1.4

Multiplica $- 10$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ .

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Paso 2.12.2.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.2.2

Suma $- 20 x + 50$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.2.3

Suma $- 20 x$ y $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2.2.4

Suma $0$ y $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} - 10 x$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4.2

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x (x - 10) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3.3

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 5.3.3.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 10) = 0$ verdadera.

$x = 0, 10$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 10$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

Paso 9.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $50$ y $- 125$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$\frac{25 (2)}{- 125}$

Paso 9.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1.2.1

Factoriza $25$ de $- 125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Paso 9.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Paso 9.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{- 5}$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5}$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

Paso 11.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

Paso 11.2.3

Divide $0$ por $- 5$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 10$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1.1

Resta $5$ de $10$ .

$\frac{50}{5^{3}}$

Paso 13.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{50}{125}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $50$ y $125$ .

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Paso 13.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$\frac{25 (2)}{125}$

Paso 13.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.2.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Paso 13.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Paso 13.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5}$

Paso 14

$x = 10$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 10$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 10$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

Paso 15.2.2

Resta $5$ de $10$ .

$f (10) = \frac{100}{5}$

Paso 15.2.3

Divide $100$ por $5$ .

$f (10) = 20$

Paso 15.2.4

La respuesta final es $20$ .

$y = 20$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ .

$(0, 0)$ es un máximo local

$(10, 20)$ es un mínimo local

Paso 17