Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Paso 5.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{1}{1})$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$