Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 2

Como la derivada de $\sec (θ)$ es $\sec (θ) \tan (θ)$ , la integral de $\sec (θ) \tan (θ)$ es $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\sec (θ)$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 1$

Paso 3.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 1$

Paso 3.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - 1$

Paso 3.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - 1$

Paso 3.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - 1$

Paso 3.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - 1$

Paso 3.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1$

Paso 3.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1$

Paso 3.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Paso 3.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Paso 3.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - 1$

Paso 3.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Forma decimal:

$0.15470053 \dots$