Cálculo Ejemplos

$x^{5} + y^{5} = 30 x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{5}) = \frac{d}{d x} (30 x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + y^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x y$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$30 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$30 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$30 (x y' + y)$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$30 x y' + 30 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' = 30 x y' + 30 y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $30 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y$

Paso 5.2

Resta $5 x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Paso 5.3

Factoriza $5 y'$ de $5 y^{4} y' - 30 x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $5 y'$ de $5 y^{4} y'$ .

$5 y' y^{4} - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Paso 5.3.2

Factoriza $5 y'$ de $- 30 x y'$ .

$5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Paso 5.3.3

Factoriza $5 y'$ de $5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x)$ .

$5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Paso 5.4

Divide cada término en $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ por $5 (y^{4} - 6 x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ por $5 (y^{4} - 6 x)$ .

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{4} - 6 x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $30$ y $5$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $5$ de $30 y$ .

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} - \frac{x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$