Cálculo Ejemplos

$2 x \sqrt{x} \sin (x)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Paso 2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x) \sin (x)]$

Paso 2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) \sin (x)]$

Paso 2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1} \sin (x)]$

Paso 2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x)]$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}} \sin (x)]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Paso 10.2

Resta $2$ de $3$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 11

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 12

Combina $\sin (x)$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x)) + 2 \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Combina $2$ y $\frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Paso 13.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{6 (\sin (x) (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Paso 13.2.3

Factoriza $2$ de $6 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 13.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Paso 13.2.4.2

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 13.2.4.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Paso 13.2.4.4

Divide $3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$