Cálculo Ejemplos

$y - x^{2} + 2 x = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y - x^{2} + 2 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' - 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$y' - 2 x + 2$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$- 2 x + y' + 2$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 x + y' + 2 = 0$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y' + 2 = 2 x$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y' = 2 x - 2$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$