Cálculo Ejemplos

$y = \frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Paso 1.2

Como $\frac{6}{5}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{6}{5}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

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Paso 2.1

Como $- \frac{6}{5}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ con respecto a $t$ es $- \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$ .

$0 - \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - 20 t$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{u} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Paso 2.3

Como $- 20$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 20 t$ con respecto a $t$ es $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \cdot 1))$

Paso 2.5

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \cdot - 20)$

Paso 2.6

Mueve $- 20$ a la izquierda de $e^{- 20 t}$ .

$0 - \frac{6}{5} (- 20 \cdot e^{- 20 t})$

Paso 2.7

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$0 + 20 (\frac{6}{5}) e^{- 20 t}$

Paso 2.8

Combina $20$ y $\frac{6}{5}$ .

$0 + \frac{20 \cdot 6}{5} e^{- 20 t}$

Paso 2.9

Multiplica $20$ por $6$ .

$0 + \frac{120}{5} e^{- 20 t}$

Paso 2.10

Combina $\frac{120}{5}$ y $e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{120 e^{- 20 t}}{5}$

Paso 2.11

Cancela el factor común de $120$ y $5$ .

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Paso 2.11.1

Factoriza $5$ de $120 e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5}$

Paso 2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 (1)}$

Paso 2.11.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 \cdot 1}$

Paso 2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{24 e^{- 20 t}}{1}$

Paso 2.11.2.4

Divide $24 e^{- 20 t}$ por $1$ .

$0 + 24 e^{- 20 t}$

Paso 3

Suma $0$ y $24 e^{- 20 t}$ .

$24 e^{- 20 t}$