Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

Paso 1.2

Integra $3 x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{3} + C}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{3}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{3}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Paso 6.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 6.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 6.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 6.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 6.1.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 6.1.1.4.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 6.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ por $e^{x^{3}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ por $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{3}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{x^{3}}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$