Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.11.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Paso 2.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.7.2

Combina ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 2.7.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 2.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.7

Combina fracciones.

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Paso 4.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 4.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 4.1.11.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 5.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 4$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $4 x = - 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $4 x = - 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $- 4$ por $4$ .

$x = - 1$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 < 0$

Paso 6.5

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < - 1$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{4 {((- 1) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{1}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11