Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x'$ de $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Factoriza $x'$ de $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2.1.2

Factoriza $x'$ de $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2.1.3

Factoriza $x'$ de $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} - e^{x} x$ .

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Paso 3.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 3.6.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 3.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 3.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Paso 3.6.3.2.4

Divide $x' e^{- x} (1 - x)$ por $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Paso 3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Paso 3.6.5

Multiplica $x'$ por $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Paso 3.6.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Paso 3.6.7

Reordena los factores en $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Paso 5.2

Reordena los factores en $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x' e^{- x}$ de $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ por $e^{- x} (1 - x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ por $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$