Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

Paso 1.1.2

Como el exponente $- x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

Paso 1.1.3

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

Paso 1.4

Divide $- e^{- x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

Paso 2

Como la función $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

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Paso 2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $- 1$ eliminado.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

Paso 2.2

Como el exponente $- x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ .

$\infty$

Paso 2.3

Como la función $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

$- \infty$