Cálculo Ejemplos

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Como $\frac{27}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{27}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.3

Combina $2$ y $\frac{27}{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.4

Multiplica $2$ por $27$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.5

Combina $\frac{54}{2}$ y $x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.6

Cancela el factor común de $54$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $54 x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.3.6.2.4

Divide $27 x$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Como $- 60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 60 x$ con respecto a $x$ es $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

Paso 1.1.1.5.2

Suma $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $P (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $- 3$ de $27 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $- 3$ de $- 60$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $- 3$ de $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 9 x + 20$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 5, - 4$

Paso 1.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 1.2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 5, 4$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $125$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Paso 1.4.1.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $\frac{27}{2} \cdot 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.4.1

Combina $\frac{27}{2}$ y $25$ .

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Multiplica $27$ por $25$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica $- 60$ por $5$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Paso 1.4.1.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Escribe $- 125$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 125}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 125}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Paso 1.4.1.2.2.4

Escribe $- 300$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

Paso 1.4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{- 300}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

Paso 1.4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{- 300}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

Paso 1.4.1.2.2.7

Escribe $100$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

Paso 1.4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{100}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.4.1.2.2.9

Multiplica $\frac{100}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $- 125$ por $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $- 300$ por $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.2.4.3

Multiplica $100$ por $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.5.1

Suma $- 250$ y $675$ .

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Resta $600$ de $425$ .

$\frac{- 175 + 200}{2}$

Paso 1.4.1.2.5.3

Suma $- 175$ y $200$ .

$\frac{25}{2}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.5

Multiplica $27$ por $8$ .

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

Paso 1.4.2.2.1.6

Multiplica $- 60$ por $4$ .

$- 64 + 216 - 240 + 100$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.2.1

Suma $- 64$ y $216$ .

$152 - 240 + 100$

Paso 1.4.2.2.2.2

Resta $240$ de $152$ .

$- 88 + 100$

Paso 1.4.2.2.2.3

Suma $- 88$ y $100$ .

$12$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(5, \frac{25}{2})$

Paso 3

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 4

Compara los valores de $P (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $P (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $P (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, \frac{25}{2})$

Sin mínimo absoluto

Paso 5