Cálculo Ejemplos

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 3.6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.6.2.2

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

Paso 3.7.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} + x e^{x}$ .

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Paso 3.7.2.1

Multiplica por $1$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

Paso 3.7.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

Paso 3.7.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

Paso 3.7.3

Multiplica $x e^{x} + 2 e^{x}$ por $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Paso 3.7.4

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Paso 3.7.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Paso 3.7.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

Paso 3.7.4.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Paso 3.7.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.7.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Paso 3.7.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{1 + x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$