Cálculo Ejemplos

$\frac{(\sin (x))}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores en $e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Paso 5.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x)) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))}{e^{2 x}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{2 x}}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x}}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{1}$

Paso 5.3.2.4

Divide $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ por $1$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- \sin (x))$

Paso 5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$