Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ como $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{2}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $\ln (e^{3 x} + 5)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{3 x} + 5$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.10

Suma $3 e^{3 x}$ y $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.11

Combina $3$ y $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.12

Combina $\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Paso 5.1.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

Paso 5.1.3.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

Paso 5.1.3.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

Paso 5.1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 5.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Paso 5.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Paso 5.3.8.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.3.8.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.8.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

Paso 5.3.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

Paso 5.3.10

Suma $3 e^{3 x}$ y $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Paso 5.4

Reduce.

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Paso 5.4.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Paso 5.4.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

Paso 7

Multiplica $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{6 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$e^{6}$