Cálculo Ejemplos

$y = \ln (| \csc (x) |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | \csc (x) |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| \csc (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| \csc (x) |$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\csc (x)$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\csc (x)$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3

Multiplica $\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |}$ por $\frac{1}{| \csc (x) |}$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) | | \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 5

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 6

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\csc (x)}{| {\csc (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 9

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 10

Combina $\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ y $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Paso 11

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Paso 12

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Paso 13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{\csc (x)}^{1 + 1}}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Paso 14

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Paso 15

Combina $\cot (x)$ y $\frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ .

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Paso 16.2

Cancela el factor común de $\csc^{2} (x)$ .

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Paso 16.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Paso 16.2.2

Divide $\cot (x)$ por $1$ .

$- \cot (x)$