Cálculo Ejemplos

$y = - 7 x (8^{- 2 x})$

Paso 1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x (8^{- 2 x})$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot (8^{- 2 x})]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot (8^{- 2 x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 8^{- 2 x}$ .

$- 7 (x \frac{d}{d x} [8^{- 2 x}] + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 8^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$- 7 (x (\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $8$ .

$- 7 (x (8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \cdot 1)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \cdot - 2) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $8^{- 2 x} \ln (8)$ .

$- 7 (x (- 2 \cdot (8^{- 2 x} \ln (8))) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3

Factoriza el negativo.

$- 7 (x (- (2 \cdot 8^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot {(2^{3})}^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{- 2 x}$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{3 (- 2 x)}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{- 6 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \cdot 1)$

Paso 7

Multiplica $8^{- 2 x}$ por $1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8))) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Paso 8.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$7 x (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Paso 8.4

Reordena los factores en $7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$ .

$7 x \cdot 2^{1 - 6 x} \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$