Cálculo Ejemplos

$\int x \sqrt{1 - x^{4}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{1 - {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{1 - {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{1} = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 5.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \int \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Paso 5.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 12

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Paso 16.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x^{2}))) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2}) + C$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Paso 17.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $\arcsin (x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Paso 17.4

Combinar.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1 \sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Paso 17.5

Simplifica cada término.

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Paso 17.5.1

Multiplica $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Paso 17.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{8} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x^{2})) + C$