Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} \sqrt{x + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.11

Simplifica la expresión.

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Paso 4.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.11.2

Multiplica $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Paso 4.13

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Paso 4.14

Combina $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 4.14.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.14.2

Para escribir $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.3

Combina $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.16.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17

Simplifica $6 x^{2} {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18

Simplifica.

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Paso 4.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.18.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.18.2.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.18.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.18.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2.2

Suma $x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.3

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 4.18.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $7 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (7 x) + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$