Cálculo Ejemplos

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{4}$ y $g (y) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{4}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x + y$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

Paso 2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

Paso 2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

Paso 2.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.5

Combina los términos.

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Paso 2.8.5.1

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.5.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.5.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.5.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.8.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.5.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.5.3

Suma $x^{4} x'$ y $4 x^{4} x'$ .

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Paso 2.8.6

Reordena los términos.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

Paso 3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x - y$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

Paso 3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

Paso 3.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Paso 3.9.4

Combina los términos.

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Paso 3.9.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Paso 3.9.4.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Paso 3.9.4.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Paso 3.9.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

Paso 3.9.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

Paso 3.9.4.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

Paso 3.9.4.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

Paso 3.9.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

Paso 3.9.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

Paso 3.9.4.10

Resta $2 y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 3.9.5

Reordena los términos.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $3 y^{2} x'$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.2

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $5 x^{4} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $4 x^{3} y x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $- 3 y^{2} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Paso 5.3.4

Factoriza $x'$ de $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Paso 5.3.5

Factoriza $x'$ de $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ por $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ por $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $6 x y$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.2.8.1

Reescribe $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ como $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 5.4.3.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$