Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.3.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.3.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.10

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.13

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.14

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.15

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.16

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.17

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.18

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.19

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.21

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.22

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Paso 2

Como el numerador es positivo y el denominador $\sqrt{x^{2} - 4}$ se acerca a cero y es mayor que cero para $x$ cerca de $2$ a la derecha, la función aumenta sin cota.

$\infty$