Cálculo Ejemplos

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{4} + 5$ . Entonces $d u = 16 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{4} + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{4} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $16 x^{3}$ y $0$ .

$16 x^{3}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{16}$ y $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Paso 2.2

Combina $\frac{4}{16}$ y $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $4$ de $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$