Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} - \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} + \frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.6.2.4

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.5.1

Cancela el factor común.

$x^{3} - x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x^{3} - x^{2} + x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} - x^{2} + x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.5.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} - x^{2} + x + 1 + 0$

Paso 1.5.3

Suma $x^{3} - x^{2} + x + 1$ y $0$ .

$f' (x) = x^{3} - x^{2} + x + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 1 + 0$

Paso 2.3.3

Suma $3 x^{2} - 2 x + 1$ y $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 1$