Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \cos (x)$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

Paso 2

Expande el lado derecho.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (x^{2} \cos (x))$ como $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 3.2.3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

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Paso 3.2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2.4.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Paso 3.2.4.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.5.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

Paso 3.2.5.2.2

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

Paso 3.2.5.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ al numerador.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Paso 5.3.2

Factoriza $\cos (x)$ de $x^{2} \cos (x)$ .

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Paso 5.3.4

Reescribe la expresión.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \cos (x)$ .

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

Paso 5.5

Reordena los factores en $- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ .

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$