Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5}}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.4

Combina $\frac{5}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.8

Combina $- 3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

Paso 3.9

Combina $\frac{- 3}{6}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

Paso 3.10

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

Paso 3.11

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 3.11.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

Paso 3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.2.1

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

Paso 3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

Paso 3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

Paso 3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$