Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 t^{2} + 7}{t^{\frac{4}{3}}} d t$

Paso 1

Mueve $t^{\frac{4}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (5 t^{2} + 7) {(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d t$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d t$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $- 1$ .

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d t$

Paso 2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{- 4}{3}} d t$

Paso 2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3

Expande $(5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 5 t^{2} t^{- \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 t^{2 - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int 5 t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int 5 t^{\frac{6 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.6.2

Resta $4$ de $6$ .

$\int 5 t^{\frac{2}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

Paso 3.7

Reordena $5 t^{\frac{2}{3}}$ y $7 t^{- \frac{4}{3}}$ .

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} + 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Paso 5

Dado que $7$ es constante con respecto a $t$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{4}{3}}$ con respecto a $t$ es $- 3 t^{- \frac{1}{3}}$ .

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 \int t^{\frac{2}{3}} d t$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ .

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$7 (- 3 \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ .

$7 \frac{- 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (- \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 7 \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2.4

Combina $- 7$ y $\frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 7 \cdot 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2.5

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{- 21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

Paso 9.2.7

Combina $\frac{3}{5}$ y $t^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Paso 9.2.8

Combina $5$ y $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Paso 9.2.9

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{15 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Paso 9.2.10

Factoriza $5$ de $15 t^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Paso 9.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.11.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

Paso 9.2.11.2

Cancela el factor común.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

Paso 9.2.11.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

Paso 9.2.11.4

Divide $3 t^{\frac{5}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{5}{3}} + C$