Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\sin (x)}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\sin (x)})$ ; para ello, mueve $\sin (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

Paso 3

Reescribe $\sin (x) \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Paso 4.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

Paso 4.1.3.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Paso 4.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Paso 4.3.3

Reescribe $\frac{1}{\sin (x)}$ como $\sin^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Paso 4.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Paso 4.3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

Paso 4.3.6

Simplifica.

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Paso 4.3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

Paso 4.3.6.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

Paso 4.6

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

Paso 4.7

Separa las fracciones.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.8

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

Paso 4.9

Combina $\frac{\sin (x)}{x}$ y $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Paso 5

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1.2.5.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.5.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.2.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 6.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{- \frac{0}{0}}$

Paso 6.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5

Simplifica.

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Paso 6.3.5.1

Reordena los términos.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.5.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2.4

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2.5

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.5.2.5.1

Reordena $\cos (x)$ y $\tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2.5.2

Reescribe $\cos (x) \tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.5.2.5.3

Cancela los factores comunes.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 6.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

Paso 6.4

Combina los términos.

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Paso 6.4.1

Para escribir $\sin (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Paso 6.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Paso 6.5

Divide $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.6

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Paso 7.8

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

Paso 7.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9.1.6

Suma $0$ y $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

Paso 9.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{- \frac{0}{1}}$

Paso 9.3

Divide $0$ por $1$ .

$e^{- 0}$

Paso 9.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 10

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$