Cálculo Ejemplos

$\frac{2 - \frac{1}{x}}{x - 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [2 - \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{(x - 3) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4.9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.5

Multiplica $- - \frac{1}{x}$ .

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Paso 5.4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + 1 \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5

Combina los términos.

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Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Combinar.

$\frac{x (- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot - 2 + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.6

Combina $x$ y $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3 \cdot x}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.8

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.5.8.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.8.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.5.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.6

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1

Para escribir $- 2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 2 x \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.2

Combina $- 2 x$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.5

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + \frac{2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 + 2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.7.7

Reordena los términos.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.9

Multiplica $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ .

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Paso 5.9.1

Multiplica $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}$ por $\frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x (x {(x - 3)}^{2})}$

Paso 5.9.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.9.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x^{1} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1 + 1} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.10

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.11

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (- 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.12

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.13

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.14

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.15

Reescribe $- (2 x^{2} - 2 x + 3)$ como $- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$