Cálculo Ejemplos

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Paso 2

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $\ln (t)$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Paso 5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Paso 6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Paso 6.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\ln (t)}$ se acerca a $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

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Paso 6.4.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$0 + 1$

Paso 6.4.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$