Cálculo Ejemplos

$\tan^{2} (n θ)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \tan (n θ)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (n θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (n θ)$ .

$2 \tan (n θ) \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \tan (θ)$ y $g (θ) = n θ$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $n θ$ .

$2 \tan (n θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [n θ])$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [n θ])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $n θ$ .

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (n θ) \frac{d}{d θ} [n θ])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $n$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $n θ$ con respecto a $θ$ es $n \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \frac{d}{d θ} [θ])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \cdot 1)$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $n$ por $1$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$

Paso 3.3.2

Reordena los factores de $2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$ .

$2 n \sec^{2} (n θ) \tan (n θ)$