Cálculo Ejemplos

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (2 x + 1)$ y $d v = 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

Paso 5

Divide $x$ por $2 x + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Paso 11

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 11.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 11.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 11.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Paso 12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

Paso 16

Simplifica.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Paso 18.1.2

Combina $\ln (| 2 x + 1 |)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Paso 18.2

Para escribir $\frac{x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Paso 18.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.3.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Paso 18.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Paso 18.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Paso 18.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Paso 18.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 18.5.3

Cancela el factor común.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 18.5.4

Reescribe la expresión.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 18.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 19

Reordena los términos.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Paso 20

Reescribe $\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$ como $\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$ .

$\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (2 x + 1) x - x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.2

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.3

Combina $- x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.6

Combina $\ln (2 x + 1) x$ y $\frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 21.6.1

Reordena $\ln (2 x + 1)$ y $x$ .

$x \ln (2 x + 1) + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.6.2

Para escribir $x \ln (2 x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x \ln (2 x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.6.3

Combina $x \ln (2 x + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2 - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 21.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 22

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)) + C$