Cálculo Ejemplos

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $8 y y' + x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $8 y y'$ .

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (8 y) + y' (x)$ .

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (8 y + x) = 4 x - y$ por $8 y + x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (8 y + x) = 4 x - y$ por $8 y + x$ .

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $8 y + x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$