Cálculo Ejemplos

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ con respecto a $k$ es $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Como $\sqrt{x}$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $k \sqrt{x}$ con respecto a $k$ es $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Paso 2.3

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{k}$ como $k^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Como $x$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $x k^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $k$ es $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.10

Combina $x$ y $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.11

Mueve $k^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$